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les projets d’instructions officielles concernant les mathematiques au cycle 3 : mieux, mais encore dangereux.

De nouveaux projets d’Instructions Officielles concernant les mathématiques au cycle 3 seront proposés à la discussion des enseignants immédiatement à la rentrée 2001. Lorsqu’on compare le texte proposé à son analogue qui a été débattu il y a deux ans environ, il convient de souligner des progrès réels : on n’y propose plus de suppression de contenus qui vouerait à l’échec toute tentative de rétablir un minimum de cohérence dans ce qui demeure au programme. Et pourtant, certains " allégements " restent proposés alors qu’il est à peu près sûr que leur adoption éloignerait les enfants des milieux populaires de la réussite. Montrons-le.

L’enseignement doit se faire à un niveau de généralité optimum

Concernant les longueurs, les masses, les contenances, le projet propose de : " Connaître les unités du système métrique et les équivalences entre unités usuelles ". En revanche, concernant les aires, il propose seulement : " Utiliser les unités usuelles : cm², dm², m². ". On se demande évidemment pourquoi le km² n’est pas dans la liste, mais le plus grave est ailleurs : pourquoi dans le cas des unités d’aires, ne dit-on pas explicitement que l’élève a besoin de connaître les équivalences entre unités usuelles ?L’idée des auteurs du texte est-elle que les enfants apprennent seulement que :

3, 4 m = 34 dm 3, 4 m = 340 cm 3, 4 m = 3400 mm

3, 4 g = 34 dg 3, 4 g = 340 cg 3, 4 g = 3400 mg

3, 4 l = 34 dl 3, 4 l = 340 cl 3, 4 l = 3400 ml

C’est-à-dire, et de façon générale, que :

3,4 schtroumpfs = 34 décischtroumpfs 3,4 schtroumpfs = 340 centischtroumpfs et enfin : 3,4 schtroumpfs = 3400 millischtroumpfs

Si c’est le cas, c’est grave ! En effet, l’élève qui aura raisonné ainsi sur une longue durée (des " déci ", il y en a 10 fois plus, des " centi ", il y en a 100 fois plus, etc.), aura beaucoup de mal à apprendre au collège que cette règle " ne marche pas " pour faire des conversions d’aires, parce que, dans ce cas, les unités successives ne sont pas dans un rapport 10 :

3, 4 m² = 340 dm² 3, 4 m² = 34 000 cm² 3, 4 m² = 3 400 000 mm²

Les psychologues de l’apprentissage le savent bien : il est crucial de réfléchir au niveau de généralité auquel il convient d’enseigner le savoir. Lorsqu’on l’enseigne à un niveau trop spécifique (lorsqu’on enseigne une règle qui n’a de valeur que localement), cela peut faire gravement obstacle à l’accès à un savoir plus général. Les didacticiens, eux aussi, le savent bien : ils disent d’un tel enseignement qu’il crée un " obstacle didactique ".

Tout allégement de programme n’est pas en soi condamnable : on peut considérer, par exemple, que l’allégement de 1995 qui supprimait l’enseignement des conversions entre unités de mesure de volumes, était raisonnable. En effet, comme les conversions entre unités d’aires restaient au programme, l’enfant ne risquait guère d’apprendre une règle fausse et de l’exercer sur une longue période. On peut considérer qu’après 1995, l’enseignement des unités de mesure s’est fait à un niveau de généralité optimum. C’est cet équilibre que les projets de programmes avancés aujourd’hui risquent de rompre.

La mise en route d’un mécanisme de discrimination sociale

Il n’est pas difficile d’anticiper la réponse des auteurs du projet à l’analyse précédente. Ils répondront vraisemblablement que la connaissance des relations : 1 m² = 100  dm² 1 m² = 10 000  cm² 1 m² = 1 000 000 mm² reste au programme mais que cela fait seulement partie des compétences en cours d’acquisition et non des compétences visées ou exigibles. Il n’est d’ailleurs pas exclu que le futur texte d’application le dise explicitement.

Ce type d’argument passe sous silence l’aspect discriminatoire du choix ainsi fait : certes certains maîtres continueront à enseigner les relations entre unités d’aires, mais ceux qui exercent en milieu populaire et qui, souvent, ont du mal à " boucler le programme ", seront très fortement tentés de ne plus l’enseigner du tout parce que, d’une part, les enseignants du collège aborderont à nouveau ce contenu de connaissance et, d’autre part, parce qu’une connaissance " en cours d’acquisition " peut très bien être seulement au " tout, tout début de son acquisition ".

Dans les écoles où le métier est moins difficile, les maîtres continueront donc à construire avec leurs élèves des schémas explicitant les relations entre m², dm², cm² et mm², comme on l’observe aujourd’hui : ils commenceront évidemment par mettre en évidence qu’un " décimètre carré " n’a pas forcément une forme de carré, parce qu’un triangle peut avoir une aire d’un " décimètre carré ", par exemple (distinction entre aire et forme). Ils demanderont ensuite aux élèves de prendre un " dm² typique ", c’est-à-dire ayant une forme de carré et d’y faire " apparaître " les cm² en le quadrillant. Combien y a-t-il de cm² dans un dm² ? Puis, au sein de quelques uns des cm² obtenus, ils demanderont aux élèves de faire " apparaître " les mm². Et si on continuait à faire apparaître les mm²dans tous les cm² à l’intérieur d’un dm², combien y en aurait-il dans ce dm² ? Etc.

L’ensemble des élèves, qu’ils aient bénéficié ou non de telles séances, se retrouveront au collège, là où les professeurs de mathématiques affirment de façon quasi-unanime qu’ils n’ont absolument pas de temps à consacrer à l’animation de ce type de séance et qu’ils enseignent d’emblée à leurs élèves à utiliser un " tableau de conversion ". Les enfants des milieux populaires seront donc le plus souvent privés de l’expérience de la construction de schémas explicitant les relations entre unités d’aires pour l’ensemble de leur cursus scolaire.

Résumons : c’est dans les écoles scolarisant les enfants de milieux populaires que l’abandon de l’enseignement des relations entre unités d’aires, sera massivement observé. Il est d’autre part certain que cet abandon créera un obstacle à la réussite de ces élèves quand ils accèderont au collège parce qu’enseigner les relations entre unités dans les seuls cas où deux unités successives sont dans un rapport 10, conduit à une généralisation erronée. Enfin, la plupart du temps, ces élèves de milieu populaire n’auront même pas la possibilité, au collège, de bénéficier d’un enseignement qui les aide à surmonter l’obstacle crée par l’école élémentaire, en leur expliquant pourquoi dans le cas des aires, le rapport entre deux unités successives est 100 et non 10. Tout est en place pour que cette mesure se traduise par une discrimination sociale dans l’accès au savoir.

Le document d’application peut-il éloigner tout risque ?

Mais peut-être les membres de la commission d’experts croient-ils qu’ils pourront surmonter ces difficultés en faisant du " document d’application " un texte contraignant l’ensemble des maîtres à animer des séances telles que celle qui vient d’être décrite. L’idée générale serait la suivante : les démarches pédagogiques décrites dans le document d’application apparaîtront tellement pertinentes que la nécessité de les adopter s’imposera à tout enseignant ayant un minimum de conscience professionnelle, quel que soit le lieu où il exerce ! Ce serait particulièrement naïf de la part des membres de cette commission de croire en la possibilité de cette sorte de texte.

Le dernier texte d’application d’instructions officielles en mathématiques que les responsables du système éducatif ont voulu faire fonctionner ainsi de manière contraignante, date de la fin des années 1970. Celui qui concernait le cycle élémentaire (arrêté du 7 juillet 1978), par exemple, avançait tout un ensemble de préconisations (réduction d’ " écritures additives ", d’ " écritures multiplicatives ", enseignement des fonctions numériques, apprentissage de la technique de la multiplication à l’aide d’un quadrillage, enseignement de la soustraction comme addition à trou, etc.) qui, 10 ans plus tard, étaient presque unanimement condamnées. Pourtant, ce texte s’était principalement inspiré des travaux de l’équipe Ermel de l’INRP. La même équipe, 10 ans plus tard, en aurait complètement transformé une page sur deux. Pourquoi quiconque ferait-il mieux aujourd’hui ? C’est d’autant moins probable que la commission d’experts à l’origine du projet, paraît assez peu représentative des diverses institutions de recherche sur la question : elle ne compte, par exemple, aucun chercheur en psychologie des apprentissages mathématiques. Et ce ne sont pas les deux mois de débats proposés à la rentrée qui permettront la prise en compte des différents points de vue, qu’ils proviennent des praticiens, des didacticiens ou de la psychologie cognitive.

Un autre allégement dangereux :

l’abandon de la division " poussée après la virgule "

Avant de conclure, signalons qu’une analyse analogue peut être menée à propos d’un autre " allègement " particulièrement surprenant : la disparition, dans les compétences visées, de la division " poussée après la virgule " (i.e. avec quotient décimal).

Là encore, une telle réforme conduirait à un programme " en miettes ". D’une part, les élèves d’école élémentaire devraient toujours savoir que le partage de 27 litres en 10 parts égales aboutit à des parts de 2,7 litres chacune, parce que l’égalité 27 / 10 = 2,7 est explicitement au programme. D’autre part, ils n’auront plus à savoir que le partage de 27 litres en 8 parts égales aboutit à des parts de 3,375 litres chacune, parce que la division permettant d’obtenir ce résultat ne sera plus au programme. Là encore, les élèves vont apprendre un fonctionnement très local : ils devront savoir résoudre ce type de problème quand le partage est en 10 ou 100 parts égales mais pas quand il se fait en 8 (ou 3, 4, 5…) parts égales ! C’est d’autant plus étonnant que : 1°) il n’y a guère de meilleur moyen d’apprécier si un élève a compris ce qu’est un nombre décimal que d’aller voir ce qu’il comprend d’une division " qui ne tombe pas juste " et : 2°) l’enseignement de la division décimale ne pose pas de problème spécifique pour peu qu’un élève ait compris le fractionnement décimal, ce qui, fort heureusement, reste visé.

Comme dans le cas des relations entre unités d’aires, les auteurs du projet tenteront vraisemblablement d’atténuer la portée de leur choix en affirmant que la division décimale reste au programme, même si elle n’apparaît plus dans les compétences visées et exigibles. Peut-être d’ailleurs l’écriront-ils noir sur blanc dans le document d’application. Là encore, il faut attirer leur attention sur l’aspect potentiellement discriminatoire d’un tel raisonnement. Des arguments en tout point similaires à ceux que nous avons avancés concernant les relations entre unités d’aires, pourraient l’être concernant le division avec quotient décimal : ce sont les élèves des milieux populaires qui ont tout à perdre de cet " allégement " de programme.

Penser le curriculum sur le long terme

Quand on a l’impression que les élèves éprouvent des difficultés face à un contenu de connaissance donné, on peut souvent y remédier en l’abordant différemment en classe. Une autre solution, radicale, consiste évidemment à l’éliminer du programme d’un niveau pour ne l’aborder que plus tard. Les tenants d’une telle logique sont nombreux, mais c’est vraisemblablement un quiproquo qui explique leur audience grandissante. En effet, ceux qui penseraient que les allégements de programmes correspondent nécessairement à un allégement de la tâche des enseignants, se trompent. C’est l’échec scolaire qui rend leur tâche rude. Certains allégements de programmes, parce qu’ils suppriment l’abord de problèmes qu’il faut nécessairement affronter pour progresser, créent de l’échec. Quand il s’agit d’un échec différé, le soulagement temporaire procuré par l’allégement, est une lâcheté pédagogique. Certains allégements compliquent la tâche des pédagogues, plus qu’ils ne la facilitent, du moins lorsqu’on considère les pédagogues en tant que collectivité d’individus engagés dans une tâche commune sur une longue durée.

En résumé, ne plus enseigner les relations entre unités d’aires à l’école élémentaire, ne plus y enseigner la division décimale lorsqu’elle est " poussée après la virgule ", quelles que soient les précautions rhétoriques prises par ceux qui avancent de telles propositions, sont des innovations extrêmement risquées parce que, potentiellement discriminatoires.